Abel, teorema di
Enciclopedia della Matematica (2013)
Abel, teorema di
Abel, teorema di in algebra, teorema che stabilisce la proprietà alla base del criterio di Abel (→ Abel, criterio di) per la uniforme convergenza di una serie di potenze. Afferma che se la serie numerica
converge a S, la serie di potenze
converge uniformemente nell’intervallo [0, 1] alla sua somma ƒ(x). Ne segue che è lecito passare al limite sotto il simbolo di serie per x → 1 per avere ƒ(1) = S.
Per esempio, poiché la serie numerica
converge, dallo sviluppo in serie di
si ottiene, mediante il teorema di Abel, l’identità
Il teorema ammette una generalizzazione nel campo complesso: se la serie
avente raggio di convergenza R, converge in un punto z0 della circonferenza di convergenza, essa converge uniformemente in un settore circolare di vertice z0, limitato da due corde uscenti da z0 e interno al cerchio di convergenza (→ sommazione, metodi di).
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