Metodo dei moving planes

metodo dei moving planes

Metodo che si colloca nell’ambito dello studio di proprietà geometriche delle soluzioni (positive) di equazioni alle derivate parziali ellittiche non lineari. Precisamente, l’obiettivo è mostrare come la simmetria radiale del dominio (la palla) induca tali soluzioni a essere radialmente simmetriche, ovvero dipendenti dalla variabile spaziale solo attraverso la distanza dal centro del dominio. L’idea euristica è la seguente: la soluzione u per punti vicino al bordo del dominio decresce in direzione (uscente) perpendicolare al bordo (lemma di Hopf). Si consideri un punto P₀ sul bordo della palla di centro O e un piano π ortogonale a OP^___₀ ‘vicino’ al piano tangente in P₀. Sia P dalla parte di P₀ rispetto al piano π e P′ il simmetrico di P rispetto a π, allora

u(P′) ≥ u(P).

Quindi si muove il piano π dal bordo della palla fino al centro, mostrando che in realtà la disuguaglianza precedente continua a valere, ottenendo u(P_∑)≥u(P_Ν) per punti P_∑, P_Ν rispettivamente a sud e nord del piano equatoriale parallelo a π e passante per il centro O. Ripetendo il ragionamento partendo dal punto antipodale a P₀ si ottiene u(P_∑)≤u(P_Ν) e dunque u è simmetrica rispetto al piano equatoriale; ora π è arbitrario, da cui la simmetria radiale della soluzione u.

→ Analisi non lineare: metodi variazionali