Equazioni ellittiche non lineari

equazioni ellittiche non lineari

Sia u:Ω⊂ℝ^ν→ℝ. Un operatore differenziale della forma

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dove a_ιϚ ,b_ι ,c: Ω→ℝ, è detto uniformemente ellittico (del secon;d’ordine, in quanto tali sono le derivate di ordine massimo) se la matrice dei coefficienti a_ιϚ resta definita positiva, ovvero se esiste θ>0 tale che

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La condizione di ellitticità uniforme garantisce che il rapporto tra massimo e minimo autovalore della matrice [a_ιϚ] rimanga limitato. L’operatore L è lineare, ovvero soddisfa L[αu₁+βu₂]=αLu₁+βLu₂, α,β∈ℝ, e pertanto si parla di equazioni ellittiche lineari della forma Lu=f(x), nella funzione incognita u e dove f è assegnata. Qualora i coefficienti dell’operatore L dipendano da u, l’equazione ellittica diventa non lineare. Denotando con

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distinguiamo equazioni semilineari:

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equazioni quasilineari:

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L’equazione si dice poi completamente non lineare, in presenza di una dipendenza non lineare dalle derivate di ordine massimo. Le equazioni ellittiche, nate essenzialmente da modelli della fisica matematica, hanno trovato numerose applicazioni nei settori più diversi delle scienze pure e applicate; in particolare, ci si riconduce a equazioni ellittiche semilineari e quasilineari nello studio di soluzioni stazionarie in teoria dei campi, dove la presenza della nonlinearità simula l’interazione tra particelle.

→ Variazioni, calcolo delle