Equazione di Schrödinger

equazione di Schrödinger

Equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica. Nel semplice caso di una sola particella in presenza, nello spazio tridimensionale, di una forza conservativa cui è associata l’energia potenziale V(r), tale equazione si scrive

dove i è l’unità immaginaria, ℏ è la costante di Planck ridotta, m è la massa della particella, r è la coordinata nello spazio tridimensionale, t è la variabile temporale, e la funzione d’onda Ψ(r,t) caratterizza il comportamento della particella in questione, in quanto il suo modulo quadrato, rappresenta la densità di probabilità che tale particella si trovi nel punto r al tempo t. Ciò naturalmente richiede che tale funzione soddisfi la condizione di normalizzazione

dove l’integrazione è estesa a tutto lo spazio, che corrisponde all’ovvia osservazione che la probabilità che la particella si trovi in qualche punto dello spazio è pari all’unità. Tale condizione è compatibile con l’equazione di Schrödinger, cioè, se vale al tempo iniziale t=0, l’evoluzione temporale ne garantisce sempre la validità. L’equazione (temporale) di Schrödinger è inoltre compatibile con la riduzione

Et

che implica che la funzione Ψ(r) soddisfi l’equazione ‘stazionaria’ di Schrödinger,

Le autofunzioni normalizzabili Ψ_ν(r), soluzioni di questa equazione, corrispondono agli stati legati della particella nel potenziale V(r); generalmente esistono solo per valori discreti (quantizzati) E_ν dell’energia. Solo soluzioni di questo tipo hanno significato fisico nel caso di potenziali (‘confinanti’) che divergono positivamente a grandi distanze. Nel caso di potenziali che si annullano abbastanza rapidamente a grandi distanze, è invece possibile attribuire un significato anche a soluzioni non divergenti ma non normalizzabili, che risultano associate a processi di diffusione sul potenziale in questione corrispondenti schematicamente a esperimenti in cui un fascio di particelle viene diretto da lontano sul potenziale (per ipotesi localizzato, in quanto si annulla all’infinito); si misurano poi le particelle diffuse a grande distanza, dove il potenziale è praticamente nullo. L’estensione dell’equazione di Schrödinger al caso di molte particelle è concettualmente semplice, ma diventa in tal caso molto più difficile estrarre da tale equazione, mediante una trattazione teorica, risultati confrontabili con l’esperimento; cosa ben comprensibile, poiché tale equazione descrive, in linea di principio, l’enorme varietà di fenomeni che caratterizzano la fisica e la chimica non relativistiche, cioè gran parte della fenomenologia del mondo che ci circonda.

→ Solitoni