Equazione di Liouville

equazione di Liouville

Nell’approccio classico alla meccanica statistica le probabilità relative degli stati microscopici di un sistema hamiltoniano (per es., un sistema conservativo) sono descritte per mezzo di una densità ϱ({x_ι},{p_ι},t), i=1,...,n, sullo spazio delle fasi del sistema (ciascun punto ({x_ι},{p_ι},t) specifica completamente uno stato microscopico). La variazione nel tempo della densità in un punto fissato dello spazio delle fasi ϱ è governata dall’equazione di Liouville

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dove l’operatore differenziale ℋ (detto operatore di Liouville) è definito in termini dell’hamiltoniana H del sistema dalla formula

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dove {.,.} è la parentesi di Poisson. Segue allora che l’evoluzione temporale di ϱ è data dall’espressione

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ossia che la densità nello spazio delle fasi si comporta come un fluido incompressibile: le ‘molecole’ all’interno di una regione di volume V all’istante t₀ occuperanno una regione del medesimo volume all’istante t₁. Nel linguaggio della meccanica statistica tale risultato (detto allora teorema di Liouville) può essere formulato nella maniera seguente: il volume dello spazio delle fasi occupato da un ensemble (copie del sistema, ciascuna delle quali è appunto rappresentata da un punto dello spazio delle fasi) resta costante nel tempo. Nel caso della meccanica statistica quantistica l’equazione di Liouville prende la forma

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dove ϱ è allora chiamato operatore di densità e H operatore hamiltoniano.

→ Irreversibilità