Equazione di Gelfand-Levitan-Marcenko (GLM)

Equazione di Gelfand-Levitan-Marcenko (GLM)

Equazione centrale nella risoluzione del problema inverso della diffusione nell’ambito della meccanica quantistica non relativistica, ossia nella risoluzione del cosiddetto problema spettrale inverso. La risoluzione di tale problema, e dunque la stessa equazione GLM, gioca un importante ruolo anche nello studio di alcune equazioni di evoluzione alle derivate parziali integrabili, quali, per es., la equazione di Korteweg-de Vries (equazione KdV). Il problema diretto della diffusione si basa sulla equazione (stazionaria) di Schrödinger, che in opportune unità di misura (e nel contesto di uno spazio unidimensionale) si scrive

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e con −∞〈x〈+∞. In questa equazione di base del problema spettrale diretto la funzione reale u(x) è assegnata (e per ipotesi si annulla abbastanza rapidamente per x→±∞), il numero reale k² è l’autovalore e alla autofunzione ψ(x,k) (soluzione di questa equazione differenziale) si richiede di mantenersi limitata per ogni valore della variabile spaziale x (anche nel limite in cui x→±∞). Pertanto – tenuto conto della proprietà della funzione u(x) di annullarsi asintoticamente – lo spettro degli autovalori k² ha due componenti: tutti i valori positivi, k²>0, ed eventualmente un numero finito di valori negativi, k²=−p²_ν, n=1,…,N. Agli autovalori positivi, cui corrisponde un valore reale (positivo) di k, si associano autofunzioni caratterizzate dal seguente comportamento asintotico:

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per x→−∞;

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per x→+∞. Queste formule identificano univocamente la corrispondente autofunzione ψ(x,k), nonché il coefficiente di trasmissione T(k) e il coefficiente di riflessione R(k). Agli autovalori negativi (qualora esistano) si associano invece autofunzioni ψ(x,ip_ν)=f_ν(x) normalizzabili, che devono dunque annullarsi per x→±∞ e che conviene caratterizzare univocamente mediante la condizione

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cui si associa il coefficiente di normalizzazione

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Il problema spettrale diretto consiste nella determinazione, data una funzione reale u(x), dei corrispondenti coefficienti di trasmissione T(k) e di riflessione R(k), del numero N di autovalori discreti – numero che potrebbe anche esser nullo, anzi lo sarebbe certamente se u(x)≥0 per −∞〈x〈+∞ – e delle corrispondenti quantità (positive) pν,ϱν, n=1,…,N. In particolare si definisce trasformata spettrale della funzione u(x) l’insieme di dati

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La giustificazione per questa definizione della trasformata spettrale nasce dal fatto che i dati in essa contenuti sono necessari e sufficienti a determinare univocamente la corrispondente funzione u(x): la sua individuazione a partire dalla trasformata spettrale costituisce per l’appunto il problema spettrale inverso, nel cui ambito l’equazione integrale GLM gioca un ruolo essenziale. Data infatti la trasformata spettrale [4], si definisce una funzione

1

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e l’equazione GLM si scrive allora come segue:

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Questa equazione integrale di Fredholm – nella quale la funzione M(x) entra sia come termine noto che come nucleo – determina univocamente la funzione K(x,y) e questa determina a sua volta la funzione u(x) tramite la formula

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→ Solitoni