Disuguaglianza

In matematica, una relazione tra numeri (o tra grandezze) nella quale viene affermato che un numero a (una grandezza A) è maggiore o minore di un numero b (di una grandezza B della stessa classe). In simboli: a > b (a maggiore di b), a < b (a minore di b), a ≥ b (a maggiore o uguale a b), a ≤ b (a minore o uguale a b); le prime due d. sono dette forti (o strette), le ultime due sono dette deboli (o larghe). Come per le uguaglianze, così anche per le d. si parla di 1° e di 2° membro. Se si scambiano tra di loro 1° e 2° membro, bisogna cambiare il segno di > in < o viceversa. Per le d. numeriche valgono alcune regole fondamentali. Se a > b, allora a+c>b+c. Se a > b e se c è un numero positivo, allora ac > bc; se invece c è un numero negativo, a c < b c (per es., se a > b, −a < −b). Se a e b hanno lo stesso segno, e se a < b,

allora 1−−a > 1−−b (per es.: 2<3, ma 1/2>1/3).

Una d. importante è la seguente: la somma dei valori assoluti è maggiore, o tutt’al più uguale, al valore assoluto della somma; |a|+|b| ≥ |a+b|. La d. si applica anche ai numeri complessi, sostituendo il valore assoluto con il modulo.

Tra le d. algebriche elementari molto importante è la seguente:

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Essa può essere estesa, in un certo senso, alle funzioni di una variabile continua, e si ha allora la cosiddetta d. di Schwarz:

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